Php — xampp — как запустить мой php проект в linux mint

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

где a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Приведем пример:

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень. Еще примеры:

Еще примеры:

Депозитный калькулятор со сложным процентом в Excel

Пример 2. Клиент банка внес депозит на сумму 50000 рублей с процентной ставкой 14,5% (сложные проценты). Определить, сколько времени потребуется на удвоение вложенной суммы?

Интересный факт! Для быстрого решения данной задачи можно воспользоваться эмпирическим способом приблизительной оценки сроков (в годах) на удвоение инвестиций, вложенных под сложный процент. Так называемое правило 72 (или 70 или правило 69). Для этого нужно воспользоваться простой формулой – число 72 разделить на процентную ставку: 72/14,5 = 4,9655 лет. Главный недостаток правила «магического» числа 72 заключается в погрешности. Чем выше процентная ставка, тем выше погрешность в правиле 72. Например, при процентной ставки 100% годовых погрешность в годах достигает до 0,72 (а в процентах это аж 28%!).

Для точного расчета сроков удвоения инвестиций будем использовать функцию LOG. За одно и проверим величину погрешности правила 72 при процентной ставке 14,5% годовых.

Вид исходной таблицы:

Для расчета будущей стоимости инвестиции при известной процентной ставке можно использовать следующую формулу: S=A(100%+n%)t, где:

  • S – ожидаемая сумма по истечению срока;
  • A – размер депозита;
  • n – процентная ставка;
  • t – срок хранения депозитных средств в банке.

Для данного примера эту формулу можно записать как 100000=50000*(100%+14,5%)t или 2=(100%+14,5%)t. Тогда для нахождения t можно переписать уравнение как t=log(114,5%)2 или t=log1,1452.

Для нахождения значения t запишем следующую формулу сложного процента по депозиту в Excel:

=LOG(B4/B2;1+B3)

Описание аргументов:

  • B4/B2 – соотношение ожидаемой и начальной сумм, которое является показателем логарифма;
  • 1+B3 – прирост процентов (основание логарифма).

В результате расчетов получим:

Депозит удвоится спустя немного более чем 5 лет. Для точного определения лет и месяцев воспользуемся формулой:

Функция ОТБР отбрасывает в дробном числе все что после запятой подобно функции ЦЕЛОЕ. Разница между функциями ОТБР и ЦЕЛОЕ заключается лишь в расчетах с отрицательными дробными числами. Кроме того, ОТБР имеет второй аргумент где можно указать количество оставляемых знаков после запятой. Поэтом в данном случаи можно воспользоваться любой из этих двух функций на выбор пользователя.

Получилось 5 лет и 1 месяц и 12 дней. Теперь сравним точные результаты с правилом 72 и определим величину погрешности. Для данного примера формула, следующая:

=72/(B3*100)

Мы должны умножить значение ячейки B3 на 100 так как ее текущее значение 0,145, которое отображается в процентном формате. В результате:

После скопируем формулу из ячейки B6 в ячейку B8, а в ячейке B9:

Посчитаем сроки погрешности:

=B5-B7

Затем в ячейку B10 снова скопируем формулу из ячейки B6. В результате получим разницу:

И наконец посчитаем разницу в процентах, чтобы проверить как изменяется размер отклонения и насколько существенно влияет рост процентной ставки на уровень расхождения правила 72 и факта:

Теперь для наглядности пропорциональной зависимости роста погрешности и роста уровня процентной ставки повысим процентную ставку до 100% годовых:

На первый взгляд разница погрешности не существенная по сравнению с 14,5% годовых — всего около 2-ух месяцев и 100% годовых — в пределах 3-х месяцев. Но доля погрешности в сроках окупаемости более чем ¼, а точнее 28%.

Составим простой график для визуального анализа как коррелируется зависимость изменения процентной ставки и процента погрешности правила 72 от факта:

Чем выше процентная ставка, тем хуже работает правило 72. В итоге можно сделать следующий вывод: до 32,2% процентов годовых можно смело пользоваться правилом 72. Тогда погрешность составляет менее 10-ти процентов. Вполне сойдет если не требуются точные, но сложные расчеты по срокам окупаемости инвестиций в 2 раза.

Возврат в вызывающую функцию

По окончании выполнения вызываемой функции осуществляется возврат значения в точку ее вызова. Это значение присваивается переменной, тип которой должен соответствовать типу возвращаемого значения функции. Функция может передать в вызывающую программу только одно значение. Для передачи возвращаемого значения в вызывающую функцию используется оператор return в одной из форм:

return(ВозвращаемоеЗначение);

return ВозвращаемоеЗначение;

returnreturnvoidreturn

return;

Пример

123456789101112131415161718

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // для возможности использования scanf#include // Функция вычисления суммы двух чиселint sum(int x, int y) // в функцию передаются два целых числа{  int k = x + y;  // вычисляем сумму чисел и сохраняем в k  return k;       // возвращаем значение k}int main(){  int a, r;      // описание двух целых переменных  printf(«a= «);  scanf(«%d», &a); // вводим a  r = sum(a, 5);    // вызов функции: x=a, y=5  printf(«%d + 5 = %d», a, r); // вывод: a + 5 = r  getchar(); getchar(); // мы использовали scanf(),  return 0;  // поэтому getchar() вызываем дважжы}

В языке Си нельзя определять одну функцию внутри другой.
В языке Си нет требования, чтобы семантика функции обязательно предшествовало её вызову. Функции могут определяться как до вызывающей функции, так и после нее. Однако если семантика вызываемой функции описывается ниже ее вызова, необходимо до вызова функции определить прототип этой функции, содержащий:

  • тип возвращаемого значения;
  • имя функции;
  • типы формальных аргументов в порядке их следования.

Прототип необходим для того, чтобы компилятор мог осуществить проверку соответствия типов передаваемых фактических аргументов типам формальных аргументов. Имена формальных аргументов в прототипе функции могут отсутствовать.
Если в примере выше тело функции сложения чисел разместить после тела функции main, то код будет выглядеть следующим образом:

12345678910111213141516171819

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // для возможности использования scanf#include int sum(int, int);   // сигнатураint main(){  int a, r;  printf(«a= «);  scanf(«%d», &a);  r = sum(a, 5);    // вызов функции: x=a, y=5  printf(«%d + 5 = %d», a, r);  getchar(); getchar();  return 0;}int sum(int x, int y) // семантика{  int k;  k = x + y;  return(k);}

Натуральный логарифм

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

Многие спросят: что еще за число ? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры: = 2,718281828459…

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что — основание натурального логарифма:ln = log

Таким образом, ln = 1; ln 2 = 2; ln 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

  1. Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
  2. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
  3. Десятичные дроби
  4. Задачи B12, сводящиеся к линейным уравнениям
  5. Метод коэффициентов, часть 2
  6. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных

Вычисление логарифмов по определению

В простейших случаях возможно достаточно быстро и легко выполнить нахождение логарифма по определению. Давайте подробно рассмотрим, как происходит этот процесс.

Его суть состоит в представлении числа b в виде ac, откуда по число c является значением логарифма. То есть, нахождению логарифма по определению отвечает следующая цепочка равенств: logab=logaac=c.

Итак, вычисление логарифма по определению сводится к нахождению такого числа c, что ac=b, а само число c есть искомое значение логарифма.

Учитывая информацию предыдущих абзацев, когда число под знаком логарифма задано некоторой степенью основания логарифма, то можно сразу указать, чему равен логарифм – он равен показателю степени. Покажем решения примеров.

Пример.

Найдите log22−3, а также вычислите натуральный логарифм числа e5,3.

Решение.

Определение логарифма позволяет нам сразу сказать, что log22−3=−3. Действительно, число под знаком логарифма равно основанию 2 в −3 степени.

Аналогично находим второй логарифм: lne5,3=5,3.

Ответ:

log22−3=−3 и lne5,3=5,3.

Если же число b под знаком логарифма не задано как степень основания логарифма, то нужно внимательно посмотреть, нельзя ли прийти к представлению числа b в виде ac. Часто такое представление бывает достаточно очевидно, особенно когда число под знаком логарифма равно основанию в степени 1, или 2, или 3, …

Пример.

Вычислите логарифмы log525, и .

Решение.

Несложно заметить, что 25=52, это позволяет вычислять первый логарифм: log525=log552=2.

Переходим к вычислению второго логарифма . Число можно представить в виде степени числа 7: (при необходимости смотрите ). Следовательно, .

Перепишем третий логарифм в следующем виде . Теперь можно увидеть, что , откуда заключаем, что . Следовательно, по определению логарифма .

Коротко решение можно было записать так: .

Ответ:

log525=2, и .

Когда под знаком логарифма находится достаточно большое натуральное число, то его не помешает разложить на простые множители. Это часто помогает представить такое число в виде некоторой степени основания логарифма, а значит, вычислить этот логарифм по определению.

Пример.

Найдите значение логарифма .

Решение.

Разложение на простые множители числа под знаком логарифма имеет вид 7776=25·35, откуда следует, что 7776=65. Полученное выражение несложно представить в виде степени числа . Так как , то (в последнем переходе мы использовали свойство степени в степени). Таким образом, . На этом вычисление логарифма завершено.

Ответ:

.

В заключение этого пункта отметим, что мы не ставили целью рассмотреть все способы представления числа под знаком логарифма в виде некоторой степени основания. Наша цель заключалась в том, чтобы дать самые часто используемые варианты действий, приводящие к результату при вычислении логарифмов по определению.

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_{2}{4}\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_{2}{4}\).

Но \(\log_{3}{9}\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_{3}{9}\)  . Аналогично и с \(\log_{5}{25}\), и с \(\log_{9}{81}\), и т.д. То есть, получается

\(2=\log_{2}{4}=\log_{3}{9}=\log_{4}{16}=\log_{5}{25}=\log_{6}{36}=\log_{7}{49}…\)

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_{2}{8}\), или как \(\log_{3}{27}\), или как \(\log_{4}{64}\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

\(3=\log_{2}{8}=\log_{3}{27}=\log_{4}{64}=\log_{5}{125}=\log_{6}{216}=\log_{7}{343}…\)

И с четверкой:

\(4=\log_{2}{16}=\log_{3}{81}=\log_{4}{256}=\log_{5}{625}=\log_{6}{1296}=\log_{7}{2401}…\)

И с минус единицей:

\(-1=\) \(\log_{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(=\) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=\) \(\log_{4}\)\(\frac{1}{4}\)\(=\) \(\log_{5}\)\(\frac{1}{5}\)\(=\) \(\log_{6}\)\(\frac{1}{6}\)\(=\) \(\log_{7}\)\(\frac{1}{7}\)\(…\)

И с одной третьей:

\(\frac{1}{3}\)\(=\log_{2}{\sqrt{2}}=\log_{3}{\sqrt{3}}=\log_{4}{\sqrt{4}}=\log_{5}{\sqrt{5}}=\log_{6}{\sqrt{6}}=\log_{7}{\sqrt{7}}…\)

И так далее.

Математические вычисления и класс Math

Последнее обновление: 31.10.2015

Для выполнения различных математических операций в библиотеке классов .NET предназначен класс Math. Он является статическим, поэтому все его методы также являются статическими.

Рассмотрим методы класса Math:

  • : возвращает абсолютное значение для аргумента value
    double result = Math.Abs(-12.4); // 12.4
    
  • : возвращает арккосинус value. Параметр value должен иметь значение от -1 до 1
    double result = Math.Acos(1); // 0
    
  • : возвращает арксинус value. Параметр value должен иметь значение от -1 до 1
  • : возвращает арктангенс value
  • : возвращает произведение x * y в виде объекта long
    double result = Math.BigMul(100, 9340); // 934000
    
  • : возвращает наименьшее целое число с плавающей точкой, которое не меньше value
    double result = Math.Ceiling(2.34); // 3
    
  • : возвращает косинус угла d
  • : возвращает гиперболический косинус угла d
  • : возвращает результат от деления a/b, а остаток помещается в параметр result
    int result;
    int div = Math.DivRem(14, 5, out result);
    //result = 4
    // div = 2
    
  • : возвращает основание натурального логарифма, возведенное в степень d
  • : возвращает наибольшее целое число, которое не больше d
    double result = Math.Floor(2.56); // 2
    
  • : возвращает остаток от деления a на b
    double result = Math.IEEERemainder(26, 4); // 2 = 26-24
    
  • : возвращает натуральный логарифм числа d
  • : возвращает логарифм числа a по основанию newBase
  • : возвращает десятичный логарифм числа d
  • : возвращает максимальное число из a и b
  • : возвращает минимальное число из a и b
  • : возвращает число a, возведенное в степень b
  • : возвращает число d, округленное до ближайшего целого числа
    double result1 = Math.Round(20.56); // 21
    double result2 = Math.Round(20.46); //20
    
  • : возвращает число a, округленное до определенного количества знаков после запятой, представленного параметром b
    double result1 = Math.Round(20.567, 2); // 20,57
    double result2 = Math.Round(20.463, 1); //20,5
    
  • : возвращает число 1, если число value положительное, и -1, если значение value отрицательное. Если value равно 0, то возвращает 0
    int result1 = Math.Sign(15); // 1
    int result2 = Math.Sign(-5); //-1
    
  • : возвращает синус угла value
  • : возвращает гиперболический синус угла value
  • : возвращает квадратный корень числа value
    double result1 = Math.Sqrt(16); // 4
    
  • : возвращает тангенс угла value
  • : возвращает гиперболический тангенс угла value
  • : отбрасывает дробную часть числа value, возвращаяя лишь целое значние
    double result = Math.Truncate(16.89); // 16
    

Также класс Math определяет две константы: и . Например, вычислим площадь круга:

Console.WriteLine("Введите радиус круга");
double radius = Double.Parse(Console.ReadLine());
double area = Math.PI * Math.Pow(radius, 2);
Console.WriteLine("Площадь круга с радиусом {0} равна {1}", radius, area);

Консольный вывод:

Введите радиус круга
20
Площадь круга с радиусом 20 равна 1256,63706143592

НазадВперед

Информация о статье

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Категории: Математика

На других языках:

English: Use Logarithmic Tables, Español: usar tablas de logaritmos, Italiano: Usare le Tavole Logaritmiche, Deutsch: Logarithmen Tafeln benutzen, Português: Utilizar Tábuas de Logaritmos, Bahasa Indonesia: Menggunakan Tabel Logaritma, Nederlands: Logaritmische tabellen gebruiken, Čeština: Jak pracovat s logaritmickými tabulkami, ไทย: ใช้ตารางลอการิทึม, 한국어: 로그표 사용하는 법, 中文: 使用对数表, 日本語: 対数表を使う

Эту страницу просматривали 22 532 раза.

Была ли эта статья полезной?

Да
Нет

Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства

Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма).

Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров.

Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81.

А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.

Тогда, если дело касается логарифма:

можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?

На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):

Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c». Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).

Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?

Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182…, мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).

А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).

Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета…  Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.

Всегда, когда существует логарифм, должно быть:

«Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.

А теперь  разберем теорию на практике:

В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма).

Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.

Ответ: 4.

Свойства логарифмов

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что ac = b: log a b=c⇔ a c =b (a>0,a≠1,b>0)

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1

Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Основное логарифмическое тождество

a log a b =b (a>0,a≠1) (2)

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1

Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического «тождества» при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма

log a a=1 (a>0,a≠1) (3) log a 1=0 (a>0,a≠1) (4)

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень — единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного

log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0) (5)

log a b c = log a b− log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании «слева направо» происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного — расширение ОДЗ.

Действительно, выражение log a (f(x)g(x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму log a f(x)+ log a g(x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма

log a b p =p log a b (a>0,a≠1,b>0) (7)

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

log a (f (x) 2 =2 log a f(x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть — только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

log a b= log c b log c a (a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) (8)

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

log a b= 1 log b a (a>0,a≠1,b>0,b≠1) (9)

Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log10x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например, lg(xy)=lgx+lgy (x>0,y>0) .

Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e — иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам: log a b= lgb lga = lnb lna (a>0,a≠1,b>0)

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50. Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.

Пример 2. Вычислите: lg125/lg5. Решение. lg125/lg5 = log5125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

a log a b =b (a>0,a≠1)
log a a=1 (a>0,a≠1)
log a 1=0 (a>0,a≠1)
log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0)
log a b c = log a b− log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0)
log a b p =p log a b (a>0,a≠1,b>0)
log a b= log c b log c a (a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1)
log a b= 1 log b a (a>0,a≠1,b>0,b≠1)

Таблицы логарифмов, их использование

Для приближенного вычисления значений логарифмов могут быть использованы таблицы логарифмов. Наиболее часто используется таблица логарифмов по основанию 2, таблица натуральных логарифмов и таблица десятичных логарифмов. При работе в десятичной системе счисления удобно пользоваться таблицей логарифмов по основанию десять. С ее помощью и будем учиться находить значения логарифмов.


Представленная таблица позволяет с точностью до одной десятитысячной находить значения десятичных логарифмов чисел от 1,000 до 9,999 (с тремя знаками после запятой). Принцип нахождения значения логарифма с помощью таблицы десятичных логарифмов разберем на конкретном примере – так понятнее. Найдем lg1,256.

В левом столбце таблицы десятичных логарифмов находим две первые цифры числа 1,256, то есть, находим 1,2 (это число для наглядности обведено синей линией). Третью цифру числа 1,256 (цифру 5) находим в первой или последней строке слева от двойной линии (это число обведено красной линией). Четвертую цифру исходного числа 1,256 (цифру 6) находим в первой или последней строке справа от двойной линии (это число обведено зеленой линией). Теперь находим числа в ячейках таблицы логарифмов на пересечении отмеченной строки и отмеченных столбцов (эти числа выделены оранжевым цветом). Сумма отмеченных чисел дает искомое значение десятичного логарифма с точностью до четвертого знака после запятой, то есть, lg1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

А можно ли, используя приведенную таблицу, находить значения десятичных логарифмов чисел, имеющих больше трех цифр после запятой, а также выходящих за пределы от 1 до 9,999? Да, можно. Покажем, как это делается, на примере.

Вычислим lg102,76332. Сначала нужно записать число в стандартном виде: 102,76332=1,0276332·102. После этого мантиссу следует округлить до третьего знака после запятой, имеем 1,0276332·102≈1,028·102, при этом исходный десятичный логарифм приближенно равен логарифму полученного числа, то есть, принимаем lg102,76332≈lg1,028·102. Теперь применяем свойства логарифма: lg1,028·102=lg1,028+lg102=lg1,028+2. Наконец, находим значение логарифма lg1,028 по таблице десятичных логарифмов lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. В итоге весь процесс вычисления логарифма выглядит так: lg102,76332=lg1,0276332·102≈lg1,028·102=lg1,028+lg102=lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

В заключение стоит отметить, что используя таблицу десятичных логарифмов можно вычислить приближенное значение любого логарифма. Для этого достаточно с помощью формулы перехода перейти к десятичным логарифмам, найти их значения по таблице, и выполнить оставшиеся вычисления.

Для примера вычислим log23. По формуле перехода к новому основанию логарифма имеем . Из таблицы десятичных логарифмов находим lg3≈0,4771 и lg2≈0,3010. Таким образом, .

Список литературы.

  • Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 — 11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Некогда разбираться?

Как вычислить логарифм?

Например, вычислите логарифм:  а) \(\log_{4}{16}\)     б) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)     в) \(\log_{\sqrt{5}}{1}\)     г) \(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\)      д) \(\log_{3}{\sqrt{3}}\)

а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому:

\(\log_{4}{16}=2\)

б) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\frac{1}{3}\)? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).

\(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=-1\)

в) В какую степень надо возвести \(\sqrt{5}\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

\(\log_{\sqrt{5}}{1}=0\)

г) В какую степень надо возвести \(\sqrt{7}\), чтобы получить \(\sqrt{7}\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

\(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=1\)

д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt{3}\)? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень — это степень \(\frac{1}{2}\).

\(\log_{3}{\sqrt{3}}=\)\(\frac{1}{2}\)

В сложных случаях для вычисления логарифма удобно переводить его в показательное уравнение.

Пример: Вычислить логарифм \(\log_{4\sqrt{2}}{8}\)

Решение:

\(\log_{4\sqrt{2}}{8}=x\) Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма:
\(\log_{a}{c}=b\)       \(\Leftrightarrow\)       \(a^{b}=c\)
\((4\sqrt{2})^{x}=8\) Что связывает \(4\sqrt{2}\) и \(8\)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки:
\(4=2^{2}\)         \(\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\)         \(8=2^{3}\)
\({(2^{2}\cdot2^{\frac{1}{2}})}^{x}=2^{3}\) Слева воспользуемся свойствами степени: \(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\) и \((a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\)
\(2^{\frac{5}{2}x}=2^{3}\) Основания равны, переходим к равенству показателей
\(\frac{5x}{2}\)\(=3\) Умножим обе части уравнения на \(\frac{2}{5}\)
\(x=1,2\) Получившийся корень и есть значение логарифма

Ответ: \(\log_{4\sqrt{2}}{8}=1,2\)

Ссылка на основную публикацию